1단계: 접선 \(l\)의 방정식 및 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표 구하기
기울기가 \(m\)이고 원 \(x^2+y^2=1\)에 접하는 직선의 방정식은 \[ y = mx \pm \sqrt{m^2+1} \] 이다. \(y\)절편이 양수이므로 직선 \(l\)의 방정식은 \[ y = mx + \sqrt{m^2+1} \iff mx - y + \sqrt{m^2+1} = 0 \] 이다. 직선 \(l\)이 \(y\)축과 만나는 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표는 \[ \mathrm{B}(0, \sqrt{m^2+1}) \] 이므로 선분 \(\mathrm{OB}\)의 길이는 \[ \overline{\mathrm{OB}} = \sqrt{m^2+1} \] 이다.

2단계: 수선의 길이 및 직각삼각형 \(\mathrm{OBH}\)의 넓이 \(T(m)\) 계산
직선 \(l\)은 원 \(x^2+y^2=1\)의 접선이므로, 원점 \(\mathrm{O}\)에서 접선 \(l\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)까지의 거리는 원의 반지름과 같다: \[ \overline{\mathrm{OH}} = 1 \] 삼각형 \(\mathrm{OBH}\)는 \(\angle\mathrm{OHB} = 90^\circ\)인 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의하여 \[ \overline{\mathrm{BH}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OB}}^2 - \overline{\mathrm{OH}}^2} = \sqrt{(\sqrt{m^2+1})^2 - 1^2} = \sqrt{(m^2+1) - 1} = \sqrt{m^2} \] 이다. \(m > 0\)이므로 \(\overline{\mathrm{BH}} = m\)이다.
제시문 [나]에 의하여 직각삼각형 \(\mathrm{OBH}\)의 넓이 \(T(m)\)은 \[ T(m) = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{OH}} \cdot \overline{\mathrm{BH}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot m = \frac{m}{2} \] 이다.

3단계: 극한값 계산
구하고자 하는 극한값은 \[ \lim_{m \to 0^+} \frac{T(m)}{m} = \lim_{m \to 0^+} \frac{\frac{m}{2}}{m} = \lim_{m \to 0^+} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] 이다.
따라서 구하는 극한값은 \(\frac{1}{2}\)이다.

1단계: 단면의 닮음을 이용한 반지름과 높이의 관계식 도출
원뿔의 꼭짓점과 밑면의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면을 생각하자. 이 단면은 밑변의 길이가 \(12\), 높이가 \(12\)인 이등변삼각형이다.
내접하는 원기둥의 밑면의 반지름을 \(r\) (\(0 \lt r \lt 6\)), 높이를 \(h\) (\(0 \lt h \lt 12\))라 하자.
단면의 중심축을 기준으로 생기는 직각삼각형에서, 꼭짓점 부분의 작은 직각삼각형과 전체 직각삼각형은 서로 닮음이다: \[ \frac{12 - h}{r} = \frac{12}{6} = 2 \] 따라서 \[ 12 - h = 2r \implies h = 12 - 2r = 2(6 - r) \quad (0 \lt r \lt 6) \] 이다.

2단계: 원기둥의 부피 함수 작성
제시문 [가]에 의하여 원기둥의 부피 \(V(r)\)는 \[ V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot 2(6 - r) = 2\pi (6r^2 - r^3) \quad (0 \lt r \lt 6) \] 이다.

3단계: 도함수 계산 및 증감 조사를 통한 극대·최대 판정
\(V(r)\)를 \(r\)에 대하여 미분하면 \[ V'(r) = 2\pi (12r - 3r^2) = 6\pi r(4 - r) \] 이다. 정의역 \(0 \lt r \lt 6\)에서 \(V'(r)=0\)을 만족하는 유일한 값은 \(r = 4\)이다.
증감을 조사하면: - \(0 \lt r \lt 4\)에서 \(V'(r) > 0\) (증가) - \(4 \lt r \lt 6\)에서 \(V'(r) < 0\) (감소) 따라서 \(V(r)\)는 \(r = 4\)에서 유일한 극대이자 최댓값을 갖는다.

4단계: 최댓값 계산
\(r = 4\)를 부피 함수에 대입하면 \[ V(4) = 2\pi (6 \cdot 4^2 - 4^3) = 2\pi (6 \cdot 16 - 64) = 2\pi (96 - 64) = 2\pi \cdot 32 = 64\pi \] 이다.

정답: 밑면의 반지름 \(4\), 부피의 최댓값 \(64\pi\)

1단계: 초기 항들의 나열 및 주기성 발견
주어진 점화식에 따라 첫째항부터 차례로 항을 구한다: - \(a_1 = 2 \le 10 \implies a_2 = 2 + 3 = 5\) - \(a_2 = 5 \le 10 \implies a_3 = 5 + 3 = 8\) - \(a_3 = 8 \le 10 \implies a_4 = 8 + 3 = 11\) - \(a_4 = 11 > 10 \implies a_5 = 11 - 7 = 4\) - \(a_5 = 4 \le 10 \implies a_6 = 4 + 3 = 7\) - \(a_6 = 7 \le 10 \implies a_7 = 7 + 3 = 10\) - \(a_7 = 10 \le 10 \implies a_8 = 10 + 3 = 13\) - \(a_8 = 13 > 10 \implies a_9 = 13 - 7 = 6\) - \(a_9 = 6 \le 10 \implies a_{10} = 6 + 3 = 9\) - \(a_{10} = 9 \le 10 \implies a_{11} = 9 + 3 = 12\) - \(a_{11} = 12 > 10 \implies a_{12} = 12 - 7 = 5\)
여기서 \(a_{12} = 5 = a_2\)이므로, 수열 \(\{a_n\}\)은 제2항부터 10개의 값이 주기적으로 순환한다.
순환하는 10개의 항은 다음과 같다: \[ (5, 8, 11, 4, 7, 10, 13, 6, 9, 12) \] 2단계: 한 주기의 합 계산
순환 마디에 속하는 10개 항의 합을 \(P\)라 하면 \[ P = 5 + 8 + 11 + 4 + 7 + 10 + 13 + 6 + 9 + 12 = 85 \] 이다.

3단계: 50개 항의 합 분할 계산
구하고자 하는 합 \(\sum_{n=1}^{50} a_n\)은 첫째항 \(a_1=2\)와 그 뒤의 \(49\)개의 항(\(a_2 \sim a_{50}\))의 합으로 나눌 수 있다.
\(49\)개의 항은 10개짜리 주기가 \(4\)번 반복되고, 추가로 \(9\)개의 항이 더해진다: \[ 49 = 10 \times 4 + 9 \] 1) 4회의 주기 반복에 의한 합: \[ 4 \times P = 4 \times 85 = 340 \] 2) 남은 9개 항(\(a_{42} \sim a_{50}\))의 합: 주기의 첫 번째 항부터 9번째 항까지의 합은 한 주기의 합 \(P=85\)에서 마지막 10번째 항인 \(12\)를 뺀 것과 같다: \[ 85 - 12 = 73 \] (직접 합: \(5+8+11+4+7+10+13+6+9 = 73\))

4단계: 전체 합 계산
따라서 제50항까지의 총합은 \[ \sum_{n=1}^{50} a_n = a_1 + 340 + 73 = 2 + 340 + 73 = 415 \] 이다.
따라서 구하는 합은 \(415\)이다.

(1) 변곡점의 좌표 및 접선의 방정식 구하기
함수 \(f(x) = x e^{-x}\)의 도함수와 이계도함수를 구하면 다음과 같다: \[ f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x} \] \[ f''(x) = (-1)e^{-x} + (1 - x)(-e^{-x}) = (x - 2)e^{-x} \] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(e^{-x} > 0\)이므로, \(f''(x) = 0 \iff x = 2\)이다.
\(x=2\)의 좌우에서: - \(x < 2\)일 때 \(f''(x) < 0\) (위로 볼록) - \(x > 2\)일 때 \(f''(x) > 0\) (아래로 볼록) 부호가 바뀌므로 점 \((2, f(2)) = (2, 2e^{-2})\)는 곡선의 변곡점이다.

\(x=2\)에서 접선의 기울기는 \[ f'(2) = (1 - 2)e^{-2} = -e^{-2} \] 이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은 \[ y - 2e^{-2} = -e^{-2}(x - 2) \implies y = -e^{-2}x + 4e^{-2} \] 이다.

(2) 둘러싸인 도형의 넓이 계산
구간 \([0, 2]\)에서 \(f''(x) < 0\)이므로 곡선은 위로 볼록하다. 따라서 이 구간에서 접선이 곡선보다 항상 위쪽에 위치한다: \[ -e^{-2}x + 4e^{-2} \ge x e^{-x} \quad (0 \le x \le 2) \] 제시문 [나]에 의하여 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \[ S = \int_0^2 (-e^{-2}x + 4e^{-2})\,dx - \int_0^2 x e^{-x}\,dx \] 이다.
1) 일차함수 적분: \[ \int_0^2 (-e^{-2}x + 4e^{-2})\,dx = \left[ -\frac{e^{-2}}{2}x^2 + 4e^{-2}x\right]_0^2 = -2e^{-2} + 8e^{-2} = 6e^{-2} \] 2) \(\int_0^2 x e^{-x}\,dx\)의 부분적분: \(u = x, v' = e^{-x} \implies u' = 1, v = -e^{-x}\)이므로 \[ \int_0^2 x e^{-x}\,dx = \left[ -x e^{-x}\right]_0^2 - \int_0^2 (-e^{-x})\,dx = (-2e^{-2} - 0) + \left[ -e^{-x}\right]_0^2 = -2e^{-2} - (e^{-2} - 1) = 1 - 3e^{-2} \] 따라서 구하는 넓이 \(S\)는 \[ S = 6e^{-2} - (1 - 3e^{-2}) = 9e^{-2} - 1 = \frac{9}{e^2} - 1 \] 이다.

정답: (1) 변곡점 \((2, 2e^{-2})\), 접선 \(y = -e^{-2}x + 4e^{-2}\), (2) \(\frac{9}{e^2} - 1\)